کاربردپذیری رازآمیز ریاضیات

معلمان و استادان ریاضیات پایه اغلب مجبورند با زحمت فراوان برای دانش‌آموزان و دانشجویان ریاضی‌گریز دبیرستان و دانشگاه درباره کاربردهای گسترده ریاضیات توضیح بدهند تا آنها را قانع کنند که آنچه آنها به بهانه بی‌کاربردبودن در زندگی عملی از آموختنش می‌گریزند، درواقع پرکاربردترین دانشی است که بشر تاکنون به آن دست یافته است. البته بسیاری از دانشجویان ممکن است بر کاربردهای واقعی ریاضیات در علوم و صنایع وقوف کافی داشته باشند، اما برحسب انتخاب یا علاقه شخصی فقط به کاربرد آن در زندگی روزمره خود توجه کنند و بقیه را به اهلش واگذار کنند. در هر صورت شکایت از بی‌کاربردبودن علوم پایه و به‌ویژه ریاضیات در زندگی عملی آشکارا به‌عنوان یک چالش در نظام آموزشی از مدرسه تا دانشگاه وجود دارد که در جای خود باید به آنها رسیدگی شود. اما مسئله پیش‌روی فیلسوفان علم و ریاضیات و ریاضی‌دانان درباره «کاربردپذیری ریاضیات» از سنخ دیگری است و ارتباطی به کارآمدی نظام‌های آموزش ریاضیات پایه ندارد. مسئله کاربردپذیری ریاضیات، برخلاف نظر دانش‌آموزان و دانشجویان ریاضی‌گریز، این است که ریاضیات از چه رو تا این اندازه کاربردهای گسترده و حیرت‌انگیز دارد؟ و چرا به هر گوشه از علوم طبیعی که می‌نگریم به نحوی ردپای «مدل‌های ریاضیاتی» مشهود است؟ چرا امروزه اساسا تصور علم بدون ریاضیات ممکن نیست؟ نکته جالب اینجاست که به نظر می‌رسد با گذشت زمان میزان نفوذ ریاضیات در سایر علومی که به صورت کلاسیک در دسته علوم انسانی دسته‌بندی می‌شدند مانند جامعه‌شناسی نیز در حال افزایش است. اینکه چرا ما به ریاضیات برای مدل‌سازی واقعیت اطمینان داریم البته چیز عجیبی نیست و به تجربه‌های موفق گذشته‌مان برمی‌گردد. اما اینکه چرا این‌همه تجربه موفق در کاربرد ریاضیات در علوم طبیعی، به‌ویژه پس از انقلاب علمی قرن هفدهم به این سو داریم و اینکه جایگاه هستی‌شناختی ریاضیات در فهم ما از جهان چیست، مسئله پیچیده‌ای است که ذهن دانشمندان و فیلسوفان بزرگی را در چند دهه اخیر به خود مشغول کرده است. کاربرد ریاضیات در تمام ساحت‌های زندگی مدرن از ساده‌ترین شمارش‌ها و محاسبات روزمره گرفته تا پیچیده‌ترین نظریات فیزیک ذرات بنیادی قابل مشاهده است. خودروها، گوشی‌های هوشمند، کامپیوترها و هواپیماها همه و همه شاهکارهای کاربرد ریاضیات در علوم مهندسی هستند و از سوی دیگر سابقه چند هزاره کاربرد ریاضیات در به‌نظم‌آوردن فهم ما از رفتار کواکب و افلاک نشان از آن دارند که ریاضیات از آغاز تمدن بشری جایگاه ویژه‌ای در نحوه نگاه ما به جهان داشته است؛ جایگاهی که امروزه با شتابی روزافزون ارتقا می‌یابد. این گستردگی حیرت‌انگیز کاربردهای ریاضیات در فهم ما از طبیعت شاید در نگاه اول ما را به نظرگاهی شبیه آنچه فیثاغورثیان باستان می‌پنداشتند، یعنی ضرب‌المثل «همه عدد است» رهنمون شود: به این ایده که ساختار واقعیت جهان به نحوی عمیق ریاضیاتی است. اما این تنها یک روی سکه است. روی دیگر سکه به ساختار ذهن ما برمی‌گردد که احتمالا در روال تکامل و پیچیده‌ترشدن مغزمان به شهودهای ریاضیاتی برای فهم طبیعت در چارچوب تجربیات فضا-زمانی نایل آمده است.

ضرورت ریاضیات برای علوم طبیعی اگر از یک دیدگاه تاریخی به کاربرد ریاضیات در علوم طبیعی بنگریم درمی‌یابیم که یکی از ویژگی‌های بارز علم دوران مدرن ریاضیاتی‌شدن طبیعت در کنار استفاده روزافزون از آزمایش است. «هایدگر» علم مدرن را «طرح‌افکنی ماتماتیکال طبیعت» می‌داند. البته آنچه او از ماتماتیکال مراد می‌کند با آنچه ما از ریاضیات می‌فهمیم تفاوت دارد و به مفهوم یونانی باستان آن نزدیک است. به‌همین‌دلیل ما در ترجمه عبارت «هایدگر»، ماتماتیکال را به «ریاضیاتی» برنگرداندیم و آن را به همان صورت نوشتیم. در زبان یونانی tà mathémata شکل خاصی از دانش است که ما پیش از روبه‌رو‌شدن با اجسام و موقعیت‌شان، درباره آنها داریم و ریاضیات جدید که فیزیک دوران مدرن براساس آن بنا نهاده شده است شکل خاصی از این دانش است. بنیان‌گذاران فیزیک در دوران مدرن به‌خوبی به نقش اساسی ریاضیات برای فهم طبیعت واقف بودند. عبارتی از «گالیله» هست که بارها از او نقل شده است: «ریاضیات زبانی (یا الفبایی) است که خداوند با آن (کتاب) جهان را نوشته است». این جمله به‌خوبی نشان می‌دهد که اهمیت ریاضیات برای بنیان‌گذاران فیزیک مدرن تا چه اندازه بوده است. «ایمانوئل کانت»، فیلسوف شهیر آلمانی، در تحلیل پایه‌های متافیزیکی علوم طبیعی یک علم را در صورتی علم کامل می‌داند که کاربرد کامل ریاضیات در آن مشهود باشد. بر همین پایه است که او علم شیمی را به این دلیل که امکان کاربرد کامل ریاضیات در آن وجود ندارد یک علم کامل مانند فیزیک نمی‌داند. از همان آغازین دهه‌های شکل‌گیری علم مدرن در قرن هفدهم مشخص بود که ریاضیاتی‌شدن فهم طبیعت یکی از پایه‌های مهم علوم طبیعی است. اما از میانه قرن بیستم دانستیم که ریاضیات برای تمام ابعاد علوم طبیعی اعم از توضیح و نظریه‌پردازی جایگاهی کاملا ضروری دارد و درواقع تصور علوم طبیعی به‌ویژه مهم‌ترین‌شان یعنی فیزیک بدون ریاضی غیرممکن است. این ضروریت ریاضیات در علوم طبیعی از لحاظ هستی‌شناسانه پیامدهای فلسفی مهمی برای اندیشه فلسفی مرتبط با ریاضیات دارد. فیلسوفانی مثل «پوتنام» و «کواین» از این ضروریت ریاضیات برای علوم طبیعی نتایج جالبی گرفته‌اند. به نظر آنها این ضروریت ریاضیات برای علوم طبیعی نشان می‌دهد که اشیای ریاضیاتی (نظیر اعداد، مجموعه‌ها و...) به‌واقع وجود دارند؛ یعنی مجموعه‌ها و اعداد به همان صورتی وجود دارند که الکترون‌ها و امواج گرانشی به نظر واقع‌گرایان علمی وجود دارند. صد البته مجال نوشته حاضر تنگ‌تر از آن است که بتوانیم حتی به‌ صورت اجمالی وارد این مباحث شویم. به همین حد اکتفا می‌کنیم که یکی از زمینه‌های اصلی مباحثات فیلسوفان علم معاصر مبحث واقع‌گرایی/ ضدواقع‌گرایی علمی است. واقع‌گرایان معتقدند که اشیا و ماهیتی که به کمک آنها بهترین و موفق‌ترین نظریات علمی خود را فرمول‌بندی و عرضه می‌کنیم (مانند الکترون‌ها، سیاهچاله‌ها، امواج گرانشی، امواج الکترومغناطیسی و...) به واقع وجود دارند و برخلاف نظر طرفداران ابزارگرایی نمی‌توان این ماهیت‌ها را صرفا نوعی ابزار ذهنی برای توصیف تجربه علمی دانست. «مبحث ضروریت کواین-پوتنام» در واقع به نحوی دامنه این بحث را به اشیای ریاضی نیز می‌کشاند. به نظر آنها اگر بخواهیم بگوییم که مرتبه وجودی مجموعه‌ها و اعداد با مرتبه وجودی الکترون‌ها و پروتون‌ها تفاوت دارد و این دومی‌ها به خاطر نقش مهم‌شان در نظم‌دهی به داده‌های تجربی وجود واقعی دارند و آن اولی‌ها وجود ندارند، به نحوی دچار استاندارد فکری دوگانه شده‌ایم. البته حتی با فرض اینکه ماهیت‌های ریاضیاتی را در واقع موجود بدانیم، باید بپذیریم که رفتار علیتی آنها با موجودیت‌های فیزیکی تفاوت‌های بسیار مهمی دارد. اعداد مثل الکترون‌ها در جهان تأثیر نمی‌گذارند. صد البته در تمام موارد اوضاع به آن خوبی‌ها که انتظارش را داریم پیش نمی‌رود. اگرچه به نظر می‌آید علمی مثل فیزیک بدون ریاضیات ممکن نیست بتواند وجود داشته باشد و پیشرفت کند. در بسیاری موارد میزان نفوذ و موفقیت ریاضیات در کمک به فرمول‌بندی مبانی بسیاری از علوم به‌هیچ‌وجه حتی نزدیک به مورد علم فیزیک نیست؛ برای مثال می‌توان به مباحثی که به‌تازگی درباره ناکارآمدی ریاضیات در اقتصاد یا زیست‌شناسی درگرفته است، اشاره کرد. در هر صورت باید بپذیریم که علوم گوناگون چندان هم از یک «روش علمی جهانی» که در تمام زمان‌ها و مکان‌ها درست کار کند و دسترسی به نتایج قابل قبول را تضمین کند، پیروی نمی‌کنند. حتی می‌توان بحث کرد که چرا تحمیل‌کردن یک چنین روش عام جهان‌شمول بر شاخه‌های گوناگون پژوهشی می‌تواند به پیامدهای مخرب منجر شود. همه علوم فیزیک نیستند و همه به اندازه فیزیک از ریاضی بهره نمی‌برند. البته در سده‌های اخیر علم فیزیک به‌ خاطر موفقیت بسیار درخشانش در توصیف واقعیت تجربی جهان و همین‌طور به‌دست‌دادن قدرت پیش‌بینی بسیار قابل توجه به ما که پایه پیشرفت‌های تکنولوژیکی حیرت‌انگیز شده است، به‌عنوان یک الگو برای سایر علوم یا هر دانشی که می‌خواهیم لقب علمی را به آن نسبت دهیم، درآمده است. شاید از همین موضع بود که «ارنست رادرفورد»، فیزیک‌دان معروف بریتانیایی (متولد نیوزیلند) در جایی گفته بود: «تمام علم یا فیزیک است یا جمع‌آوری تمبر!». باز هم باید تأکید کنیم که کاربرد ریاضیات است که فیزیک را به این مرتبه می‌رساند که از جمع‌آوری تمبر متمایز شود! مقاله «اویگن ویگنر» یکی از مهم‌ترین نوشته‌هایی که در زمینه کاربردپذیری ریاضیات وجود دارد و به نوعی یکی از نقاط عطف در تاریخ بررسی‌های مربوط به این موضوع محسوب می‌شود، مقاله فیزیک‌دان برنده جایزه نوبل «اویگن ویگنر» است که با عنوان «مؤثربودن غیرمنطقی ریاضیات در علوم طبیعی» در سال 1960 منتشر شد. از زمان انتشار این مقاله تاکنون دانشمندان و فیلسوفان به‌ صورت گسترده‌ای به بحث کاربردپذیری ریاضیات پرداخته‌اند و نظرات «ویگنر» را مورد بحث و بررسی قرار داده‌اند. واقعیت امر این است که نظر دانشمندان در بحث کاربردپذیری به‌ صورت مستقیم از نظرات‌شان درباره فلسفه علم و فلسفه ذهن و طبیعتا موضع‌شان در زمینه فلسفه ریاضی تأثیر می‌‌پذیرد و به‌همین‌دلیل تاکنون توافقی درباره آنچه «ویگنر» در مقاله‌اش «معجزه مناسب‌بودن زبان ریاضیات برای فرمول‌بندی قوانین فیزیک» می‌نامد حاصل نشده است. به نظر «ویگنر» این معجزه «موهبتی شگفت‌انگیز است که ما نه آن را می‌فهمیم و نه شایستگی‌اش را داریم!». چنان‌‌که می‌دانیم یکی از مهم‌ترین وجوه این معجزه کاربردپذیری ریاضیات در فیزیک به این امر برمی‌گردد که ریاضیات ما را قادر می‌كند که با مدل‌سازی برش‌هایی از واقعیت جهان، دست به پیش‌بینی رفتار سیستم‌های فیزیکی بزنیم. مورد بوزون هیگز را به خاطر بیاورید. اینکه یک فیزیک‌دان با استفاده از ریاضیات پیشرفته روی «مدل» ذرات بنیادی کار کند و دهه‌ها بعد دانشمندان بتوانند با استفاده از شواهد تجربی وجود چنین ذره‌ای را اثبات کنند چیزی البته بسیار حیرت‌انگیز است. تمام موارد دیگر کارکردن درست یا نزدیک به درست سیستم‌های فیزیکی و مهندسی نیز از این قبیل هستند. یک هواپیما در شرایط کارکرد عادی تا حدود زیادی انتظارات را برآورده می‌کند و درصورتی‌که به‌درستی با آن رفتار شود، نیروهای وارد‌شده بر سازه آن در بازه پیش‌بینی‌شده باقی می‌مانند و سیستم‌های کنترلی آن با عملکردی مطابق نقشه و انتظار و در یک کلام مطابق «پیش‌بینی» برآمده از روابط ریاضی کار خواهند کرد. در بسیاری از موارد هم در صورت شکست یک سازه در شرایط کاری واقعی باز هم مدل‌های ریاضی به ما کمک می‌کنند تا بفهمیم چه پیش آمده است. چنان‌که گویی راهی به جز توسل به ریاضیات پیش‌روی ما نیست و ریاضیات به نحوی برای علوم طبیعی و مهندسی جایگزین‌ناپذیر است. وجه دیگر معجزه‌آسابودن کاربرد ریاضیات در علوم طبیعی که مورد اشاره «ویگنر» هم هست به این مسئله برمی‌گردد که در بسیاری از موارد فرمول‌بندی نظریات پیشرو علمی (نظیر مکانیک کوانتومی و نسبیت عام انیشتین در زمان خود) با توسل به ریاضیاتی صورت می‌پذیرد که از پیش موجود بوده‌اند و کاربردهایی این‌چنینی به هیچ وجه برای آنها متصور نبوده است. از سوی دیگر در تاریخ فیزیک بسیار فراوان‌اند مواردی که در آن دانشمندی به صرف استفاده از محاسبات ریاضیاتی وجود یک ذره یا یک اثر خاص را پیش‌بینی کرده است که سال‌ها و دهه‌ها پس از آن مشاهدات تجربی پیچیده ما بر وجود آنها صحه گذاشته‌اند. مهم‌ترین موارد از این دست در دهه اخیر بوزون‌ هیگز و امواج گرانشی هستند. اگر بخواهیم یک الگوی سرانگشتی برای نزدیک‌شدن ذهن مخاطب به روال کار به دست دهیم در این موارد کار فیزیک‌دان نظری (فرضی) شبیه به این است که بگوید: «با توجه به شواهدی که تاکنون داریم چنین محاسباتی را انجام داده‌ام و اگر محاسباتم درست باشند باید ذره‌ای یا موجی یا ترکی یا اثری با فلان خواص در فلان برش از واقعیت فیزیکی جهان وجود داشته باشد». اینکه چگونه از شواهد موجود به محاسبات ریاضی می‌رسیم به مدل‌سازی ریاضیاتی واقعیت برمی‌گردد. مدل‌سازی هسته اصلی کار علمی است. میزان نزدیکی مدل به واقعیت جهان می‌تواند قدرت پیش‌بینی مدل را کم یا زیاد کند. در بسیاری موارد مدل‌‌ها فقط برای راه‌انداختن کار هستند و نزدیکی زیاد به واقعیت ممکن است کل پروژه را به‌خصوص در موارد تکنولوژیکی فلج کند! فرض کنید برای مدل‌سازی بدنه یک خودرو بخواهیم تمام اثرات کوانتومی و نسبیتی و... را در نظر بگیریم. ممکن است در این صورت به مدل کامل‌تری دست پیدا کنیم، ولی با تکنولوژی محاسباتی فعلی ممکن است زور تمام شرکت‌های خودروسازی و دانشگاه‌های جهان روی همدیگر نتواند به حدی برسد که یک‌میلیاردم این تعهد ما به واقعیت فیزیکی جهان را تاب بیاورند! این یعنی اینکه ما مجبوریم در کارهای تکنولوژیکی برای توصیف برش‌های واقعیت فیزیکی دست به صرفه‌جویی در پیچیدگی مدل‌های ریاضیاتی بزنیم. ریاضیات حتی در این سطح تقریبی هم کارکرد حیرت‌انگیزی دارد و تکنولوژی بدون ریاضیات ممکن نیست. اگر بخواهیم موضوع مد‌نظر «ویگنر» را روزآمدتر کنیم احتمالا بهتر است از کاربردپذیری رازآمیز ریاضیات در تکنوساینس، یعنی ترکیب تودر‌توی علم و تکنولوژی در جهان حاضر سخن بگوییم. در هماهنگی با طبیعت چنان‌که گفتیم اینکه ساختار جهان ما به نحو عمیقی ریاضیاتی است یک اندیشه باستانی است که از فیثاغورثی‌های جهان باستان تا دانشمندان قرن هفدهم و حتی برخی از اندیشمندان و دانشمندان معاصر مانند «ماکس تگمارک» به آن معتقدند. اینکه «خداوند یک هندسه‌دان است» و «همه‌چیز عدد است» یک روش نگاه دیرپا به رابطه ریاضیات و جهان است. «ماکس تگمارک» فیزیک‌دان آمریکایی-سوئدی معاصر ما معتقد است که برخلاف آنچه تجربه در مواردی به ما می‌گوید، واقعیت چیزی به جز ساختار ریاضیاتی نیست و اینکه «نظریات موفق ما تقریب فیزیک توسط ریاضیات نیستند؛ بلکه تقریب ریاضیات توسط ریاضیات‌اند» و یعنی اینکه آنچه ما توسط تئوری‌های ریاضیاتی سعی در رسیدن به آن داریم (واقعیت جهان فیزیکی) در واقع ساختارهای ریاضیاتی هستند. یعنی ما توسط ریاضیات مشغول مطالعه یک ساختار عمیقا ریاضیاتی هستیم. یک دهه بعد از انتشار مقاله «ویگنر»، «ژان پیاژه» روان‌شناس سوئیسی که به سبب کارهایش در زمینه توسعه شناختی ذهن انسان مشهور است به هماهنگی میان ریاضیات و طبیعت اشاره کرد که به نحوی می‌تواند راه‌گشای مباحث کاربردپذیری ریاضیات باشد. این هماهنگی درباره ارگانیسم‌های پیچیده می‌تواند در سایه نظریه تکامل داروین فهمیده شود، اما درباره رفتار ریاضیاتی اتم‌ها نمی‌توان سخنی از نظریه تکامل به میان آورد. درباره انسان و برخی از سایر جانداران می‌توان از این راه استدلال کرد که فهم ریاضیاتی جهان در واقع ضامن بقای آنها بوده است و این هیچ ارتباطی به جهان خارج و ساختار آن ندارد. بنابراین اگر بپذیریم که یک ضرورت تکاملی در به‌وجود‌آمدن و پیشرفت ریاضیات در سطوح ماکروسکوپی دخیل بوده است باز هم شاید نتوان گفت که ریاضیات به صورت مستقیم در توصیف رفتار اتم‌ها قابل کاربرد است، بلکه همیشه سخن از نوعی قیاس به میان می‌آید. چنان‌که مشهور است در دوران روشنگری «ایمانوئل کانت» فیلسوف مشهور آلمانی درباره «مقولات فاهمه» نظیر علیت نیز تحت تأثیر اندیشه‌های «هیوم» به درکی شبیه این نکته رسیده بود: اینها به ساختار فاهمه ما برمی‌گردند و اصطلاحا «شأن نظم‌دهنده» دارند. اما نباید این نکته را از نظر دور داشت که این روش کار اساسا زمانی ممکن است که به نوعی جدایی برناگذشتنی میان سوژه و ابژه یعنی همان دوالیسم (حالا دیگر می‌توان گفت بدنام!) دکارتی معتقد باشیم چنان‌که ایدئالیسم کانتی در همان چارچوب رشد و گسترش یافته بود. اما این یگانه راه روبه‌روشدن با این مسئله نیست. ذهن ما به طرقی که توصیف آن در مکاتب گوناگون فلسفه ذهن می‌آید با هزار قید و بند به جهان خارج متصل است. ذهن ما جهان را می‌فهمد چون از جهان برآمده است. ذهن ما و طبیعت هر دو ریاضیاتی هستند؛ ریاضیات از بیرون به ساختار فیزیکی مغز ما که ذهن ما به نحوی با آن ارتباط دارد تحمیل نشده است.

برای روبه‌روشدن با مسئله کاربردپذیری ریاضیات مانند هر مسئله فلسفی اصیل دیگر مجبوریم از قسمت‌های گسترده‌ای از اندیشه و علم بشری یاری بطلبیم. این مسئله توسط محققان گوناگونی در رشته‌های گوناگون اعم از فلسفه، فلسفه ذهن، علوم زیستی و... در حال پیگیری است، اما هنوز یک برنامه مطالعاتی مشخص و منسجم برای روشن‌شدن ابعاد آن وجود ندارد و وجود یک راه‌حل تمام و کمال برای آن نیز به این زودی‌ها قابل تصور نیست.